Kelas X – Matematika Keren

Eksponen dan Bentuk Akar Bagian 2

Maret 30, 2017Maret 30, 2017 obie2017Tinggalkan komentar

Hai.. Setelah sebelumnya sudah dibahas mengenai Eksponen ( Bilangan Berpangkat ) kali ini akan dijabarkan materi selanjutnya, yaitu Bentuk Akar.

Pada penjabaran materi smp kelas 9 sudah disinggung mengenai materi bentuk akar. Kalian bisa lihat kembali materi tersebut untuk mengingat kembali [disini]

Untuk pengertian dari bentuk akar tidak perlu di sebutkan kembali disini, jadi kita akan lanjut ke operasi-operasi pada bentuk akar.

Operasi-operasi yang akan kalian jumpai dalam bentuk akar adalah :

1. Operasi Penjumlahan Bentuk Akar.

2. Operasi Pengurangan Bentuk Akar.

3. Operasi Perkalian Bentuk Akar.

4. Operasi Pembagian Bentuk Akar.

Dalam pembahasan kali ini akan dibahas sifat-sifat dari operasi bentuk akar dan juga akan dibahas mengenai sifat yang berlaku dalam merasionalkan penyebut pecahan.
Jadi sudah siap belajar?

Mari kita mulai..

Kita akan berkenalan dengan operasi-operasi dalam bentuk akar.

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar.

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real, dengan c ≠ 0, maka, berlaku :

–

$a \sqrt[]{c} + b \sqrt[]{c} = (a + b) \sqrt[]{c}$

Contoh :

$2 \sqrt[]{4} + 3 \sqrt[]{4} = (2+3) \sqrt[]{4}$

$(2 \times 2) + (3 \times 2 ) = (5) \times 2$

$4 + 6 = 10$

$10 = 10$

– $a \sqrt[]{c} - b \sqrt[]{c} = (a - b) \sqrt[]{c}$
Contoh :
$4 \sqrt[]{9} - 2 \sqrt[]{9} = (4 - 2) \sqrt[]{9}$
$(4 \times 3) - ( 2 \times 3) = (2) \times 3$
$12 - 6 = 6$
$6 = 6$

2. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar.

Misalkan a, b, p, q, m, dan n adalah bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut :

–

$\sqrt[p]{a} . \srqt[p]{b} = \sqrt[p]{a.b}$

Contoh :

$\sqrt[2]{4} \times \srqt[2]{9} = \sqrt[2]{4.9}$

$2 \times 3 = \sqrt[2]{36}$

$6 = 6$

– $\sqrt[p]{a^m} . \srqt[p]{a^n} = \sqrt[p]{a^{m+n}}$
Contoh :
$\sqrt[2]{2^2} . \srqt[2]{2^4} = \sqrt[2]{2^{2+4}}$
$\sqrt[2]{4} . \srqt[2]{16} = \sqrt[2]{2^6}$
$2 \times 4 = \sqrt[2]{64}$
$8 = 8$

– $\frac{ \sqrt[p]{a}}{ \srqt[p]{b}} = \sqrt[p]{ \frac{a}{b}}$
Contoh :
$\frac{\sqrt[2]{16}}{\sqrt[2]{4}} = \sqrt[2]{\frac{16}{4}}$
$\frac{4}{2} = \sqrt[2]{4}$
$2 = 2$

– $a^{ \frac{1}{p} = \sqrt[p]{a}}$
Contoh :
$4^{ \frac{1}{2} = \sqrt[2]{4}}$
$4^{ \frac{1}{2} = 2$

– $a^{ \frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
Contoh :
$2^{ \frac{4}{2}} = \sqrt[2]{2^4}$
$2^2 = \sqrt[2]{16}$
$4 = 4$

– $\sqrt[p]{\sqrt[q]{a}} = \sqrt[pq]{a}$
Contoh :
$\sqrt[2]{\sqrt[2]{16}} = \sqrt[2 \times 2]{16}$
$\sqrt[2]{4} = \sqrt[4]{16}$
$2 = 2$

Setelah mengenal operasi-operasi bentuk akar dan sifatnya, sekarang mari kita lanjut ke merasionalkan penyebut pecahan. Dalam merasionalkan penyebut pecahan, sifat-sifat pada operasi bentuk akar yang tadi kita pelajari akan sangat berguna dalam memahami setiap langkahnya.

Merasionalkan penyebut pecahan.

Misalkan a, b, c, dan d adalah bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut :

–

$\frac{a}{\sqrt[]{b}} = \frac{a}{\sqrt[]{b}} . \frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{b}} = \frac{a \sqrt[]{b}}{b}$

– $\frac{a}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}} = \frac{a}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}} . \frac{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}}{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}} = \frac{a(\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})}{b-c}$

– $\frac{a}{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}} = \frac{a}{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}} . \frac{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}} = \frac{a(\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c})}{b-c}$

– $\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}} = \frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}} . \frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{b}} = \frac{\sqrt[]{ab}}{b}$

– $\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}} = \frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{c}} . \frac{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}}{\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}} = \frac{\sqrt[]{a} (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c})}{b - c} = \frac{\sqrt[]{ab} - \sqrt[]{ac}}{b - c}$

Nah kita sudah belajar mengenai bentuk akar, mulai dari operasi dan sifatnya hingga sifat-sifat yang ada dalam merasionalkan penyebut pecahan.

Untuk semakin memperdalam pemahaman kalian dalam materi ini, silahkan kalian coba kerjakan latihan soal nya,
Jika ada pertanyaan, kritik maupun saran, kalian bisa tuliskan di kolom komentar dibawah,

Sampai jumpa di pembahasan materi selanjutnya.

Tetap Semangat..
Salam matematika.

Eksponen dan Bentuk Akar Bagian 1

Maret 30, 2017Maret 30, 2017 obie2017Tinggalkan komentar

Salam matematika,
Pada postingan kali ini akan dibahas mengenai Eksponen dan Bentuk akar. Mungkin dalam beberapa buku materi ini masuk dalam materi bilangan berpangkat.
Pembahasan materi ini akan dibagi menjadi 2 bagian, pada bagian 1 ini akan dibahas mengenai eksponen terlebih dahulu,
Sebenarnya materi ini sudah pernah di singgung pada jenjang SMP kelas 9. Namun di jenjang SMA akan dibahas lebih lanjut mengenai eksponen.
Mari kita mulai..
Sebelum masuk materi lebih lanjut, apa sih eksponen itu??

EKSPONEN adalah pangkat, angka dan sebagainya yang ditulis di sebelah kanan atas angka lain yang menunjukan pangkat dari angka tersebut.

$a^n = a \times a \times a \times a \times ... \times a$ ( dengan $a$ sebanyak $n$ kali )
$a$ disebut dengan bilangan pokok dan $n$ disebut dengan pangkat dari $a$

Setelah kalian mengetahui mengenai pengertian dari eksponen, selanjutnya kita akan membahas mengenai sifat-sifat eksponen.

Sifat-sifat Eksponen

$a^m.a^n = a^{m+n}$

Contoh :

$3^2 \times 3^3 = 3^5$
$9 \times 27 = 243$
$243 = 243$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

dengan a ≠ 0

Contoh :

$\frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2}$
$\frac{32}{4} = 2^3$
$8 = 8$

$a^0 = 1$

dengan a ≠ 0

$\frac{1}{a^n}= a^-n$

dengan a ≠ 0

Contoh :

$\frac{1}{2^2}=2^-2$
$\frac{1}{4}=2^-2$

Jadi

$2^-2 = \frac{1}{4}$

$(a^m)^n = a^{m.n}$

Contoh :

$(2^3)^2 = 2^{2 \times 3}$
$(8)^2 = 2^6$
$64 = 64$

$a^n . b^n = (a.b)^n$

Contoh :

$2^3 \times 4^3 = (2 \times 4)^3$
$8 \times 64 = 8^3$
$512 = 512$

$\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$

dengan b ≠ 0

Contoh :

$\frac{4^3}{2^3} = (\frac{4}{2})^3$
$\frac{64}{8} = (2)^3$
$8 = 8$ Itu dia tadi ada 7 sifat yang perlu kalian ketahui untuk menyelesaikan soal-soal bilangan pangkat atau Eksponen.
Selanjutnya kita akan mempelajari mengenai persamaan yang akan kalian temui dalam materi ini dan juga cara penyelesaiannya.

1. Jika

$a^{f(x)} = a^p$

maka

$f(x) = p$ 2. Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$
maka $f(x) = g(x)$

3. Jika $h(x)^{f(x)} = h(x)^{g(x)}$ , maka :

$f(x) = g(x)$

$h(x) = 1$

$h(x) = - 1$

asalkan

$(-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

$h(x) = 0$

asalkan

$f(x)$

dan

$g(x)$

positif

4. Jika $a(p^x)^2 + b(p^x) + c = 0$ , maka penyelesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat.

Jika ada persamaan maka ada pertidaksamaan. Berikut ini bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan cara menyelesaikannya yang mungkin akan kalian butuhkan ketika menjawab soal.

1. Jika

$a > 1$

dan

$a^{f(x)} > a^{g(x)}$

maka

$f(x) > g(x)$ 2. Jika $0 < a < 1$ dan $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ ,
maka $f(x) <g(x)$

Itu tadi beberapa pembahasan materi mengenai eksponen ( Bilangan Berpangkat ), baca juga kelanjutan pembahasan mengenai bentuk akar di penjabaran materi bagian 2.
Jika ada pertanyaan, kritik, maupun saran, silahkan tuliskan komentar dibawah, kami akan berusaha menanggapi semua komentar kalian.
Terima kasih.

Logaritma

Maret 30, 2017Maret 30, 2017 obie2017Tinggalkan komentar

Hai.. Salam Matematika

Bagaimana kabar kalian? Sehat kan? Harus donk..

Pada kesempatan kali ini akan dibahas materi yang cukup membuat beberapa orang kesulitan, materi tersebut adalah logaritma. Sebenarnya kalau kalian tahu dan ingat mengenai sifat-sifat logaritma, maka materi ini bukan sesuatu yang sulit.

Sebelum kita membahas lebih lanjut materi ini, alangkah baiknya kita berkenalan dulu dengan si LOGARITMA.
Jadi apa sih logaritma itu?

Perhatikan bentuk umum logaritma berikut.
$^g\log{a} = x ↔ g^x = a$

Dari bentuk umum tersebut, g disebut sebagai bilangan pokok logaritma, dengan g > 0 dan g ≠ 1; a disebut numerus logaritma, dengan a > 0, dan x adalah hasil logaritmanya.

Sebenarnya tidak ada arti yang pasti dalam materi matematika, kalian bisa menjabarkan pengertiannya sesuai dengan apa yang kalian pahami.

Setelah kalian tau bagaimana bentuk umum dari logaritma, sekarang kita akan lanjut ke sifat-sifat logaritma.

Sifat-Sifat Logaritma

Misalkan a, b, dan g bilangan real positif, dengan g ≠ 1, maka berlaku sifat :

1. $^g\log(a.b) = ^g\log{a} + ^g\log{b}$

Contoh :
$^2\log(2.4) = ^2\log{2} + ^2\log{4}$
$^2\log(8) = ^2\log{2} + ^2\log{4}$
$3 = 1 + 2$

2. $^g\log(\frac{a}{b}) = ^g\log{a} - ^g\log{b}$

Contoh :
$^2\log(\frac{8}{4}) = ^2\log{8} - ^2\log{4}$
$^2\log(2) = 3 - 2$
$1 = 1$

3. $^g\log a^n = n \bullet ^g\log a$
Contoh :
$^2\log 4^2 = 2 \bullet ^2\log 4$
$^2\log 16 = 2 \bullet 2$
$4 = 4$

4. $^g\log a = \frac{^p\log a}{^p\log g}$

Contoh :
$^2\log 4 = \frac{^p\log 4}{^p\log 2}$
$2 = \frac{^p\log 4}{^p\log 2}$
Misal kita ambil p = 4
$2 = \frac{^4\log 4}{^4\log 2}$
$2 = \frac{1}{\frac{1}{2}}$
$2 = 2$

Misal kita ambil p = 2
$2 = \frac{^2\log 4}{^2\log 2}$
$2 = \frac{2}{1}$
$2 = 2$

5. $^g\log a = \frac{1}{^a\log g}$

Contoh :
$^2\log 4 = \frac{1}{^4\log 2}$
$2 = \frac{1}{\frac{1}{2}}$
$2 = 2$

6. $^g\log a \times ^a\log b = ^g\log b$

Contoh :
$^2\log 4 \times ^4\log 16 = ^2\log 16$
$2 \times 2 = 4$
$4 = 4$

7. $^g^{n}\log a^m = \frac{m}{n} ^g\log a$

Contoh :
$^2^{2}\log 4^4 = \frac{4}{2} ^2\log 4$
$4\log 256 = 2 \times 2$
$4 = 4$

8. $g^{^g\log a} = a$
Contoh :
$2^{^2\log 4} = 4$
$2^2 = 4$
$4 = 4$

Nah, itu dia sifat-sifat logaritma yang perlu kalian ingat-ingat, karena sifat-sifat tersebut menjadi dasar kalian dalam mengerjakan soal-soal logaritma nantinya.
Oke,.

Istirahat dulu, biar ga tegang,,

Selanjutnya mari kita mempelajari persamaan logaritma.

Persamaan Logaritma

Berikut ini adalah beberapa bentuk persamaan yang ada dalam logaritma, dan juga cara penyelesaiannya.

1. Jika $^g\log f(x) = ^g\log p$ , dengan $g > 0, g ≠ 1$ dan $p > 0$ maka $f(x) = p$

2. Jika $^g\log f(x) = ^g\log g(x)$ , dengan $g > 0, g ≠ 1, f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$ , maka $f(x) = g(x)$ .

3. Jika $^{h(x)}\log f(x) = ^{h(x)}\log g(x)$ , dengan $h(x) > 0, h(x) ≠ 1, f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$ , maka $f(x) = g(x)$ .

4. Jika $A ^g\log ^2f(x) + B ^g\log f(x) + C = 0$ , dengan $g > 0, g ≠ 1, f(x) > 0$ , serta A, B, dan C adalah bilangan real, maka penyelesaiannya adalah sama dengan menyelesaikan soal persamaan kuadrat.