Turunan Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :
Rumus Turunan dan contoh
Jika dengan C dan n konstanta real, maka :
Jika y = C dengan
Jika y = f(x) + g(x) maka
Jika y = f(x).g(x) maka
Rumus Turunan Trigonometri adalah :
Contoh Soal :
- Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.
Pembahasan :
y’ = |
dy |
= |
d (sin 4x + cos 6x) |
dx |
dx |
y’ = 4 cos 4x − 6 sin 6x.
- Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.
Pembahasan :
y’ = |
dy |
= |
d (6 sin 2x − 4 cos x) |
dx |
dx |
y’ = 12 cos 2x − (-4 sin x)
y’ = 12 cos 2x + 4 sin x
- Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.
Pembahasan :
y’ = |
dy |
= |
d (3x4 + sin 2x + cos 3x) |
dx |
dx |
y’ = 12 x3 + 2 cos 2x − 3 sin 3x.
- Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f ‘(π⁄6).
Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.Maka turunan pertamanya adalah :
f ‘(x) = |
dy |
= u'(x).v(x) + u(x).v'(x) |
dx |
f ‘(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
f ‘(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
f ‘(π⁄6) = cos (π⁄6). cos 3(π⁄6) − 3 sin (π⁄6). sin 3(π⁄6)
f ‘(π⁄6) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
f ‘(π⁄6) = 0 − 3⁄2
f ‘(π⁄6) = –3⁄2
- Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = 1 + cos x, maka u'(x) = -sin x
⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.Maka turunan pertamanya adalah :
y’ = |
dy |
= |
u'(x).v(x) − u(x).v'(x) |
dx |
v2(x) |
y’ = |
-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x) |
sin2 x |
y’ = |
-sin2 x − cos2 x − cos x |
sin2 x |
y’ = |
-(sin2 x + cos2 x) − cos x |
sin2 x |
y’ = |
-(1) − cos x |
1 − cos2 x |
y’ = |
–(1 + cos x) |
(1 − cos x).(1 + cos x) |
Turunan Kedua
Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Sifat Sifat Turunan
Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.
Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f ‘(x) = u’ + v’
2. f(x) = u – v maka f ‘(x) = u’-v’
3. f(x) = c.u maka f ‘(x)=c.u’
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u’v + uv’
Contoh Soal :
-
Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f‘(x) = …
A. 4(2x – 1)(x + 3)
B. 2(2x – 1)(5x + 6)
C. (2x – 1)(6x + 5)
D. (2x – 1)(6x + 11)
E. (2x – 1)(6x + 7)
PEMBAHASAN :
INGAT : f(x) = u.v
f'(x) = u’v + uv’
misal : u(x) = (2x – 1)2
u'(x) = 2(2x – 1)(2)
v(x) = x + 2
v'(x) = 1
f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
= 8×2 + 12x – 8 + 4×2 – 4x + 1
= 12×2 + 8x – 7
= (2x – 1)(6x + 7)
JAWABAN : E
-
Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) =
adalah f
‘(x), maka f
‘(x) = …
A.
B.
C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
=
=
=
=
JAWABAN : A
-
Diketahui f(x) =
, Jika f
‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f
‘(2) = …
A. 0,1
B. 1,6
C. 2,5
D. 5,0
E. 7,0
PEMBAHASAN :
f(x) =
= (4×2+9)1/2
f'(x) = 1/2 (4×2+9)-1/2 (8x)
= 4x (4×2+9)-1/2
=
f'(2) =
=
= 1.6
JAWABAN : B
-
Diketahui f(x) =
. Nilai f
‘(4) = …
A. 1/3
B. 3/7
C. 3/5
D. 1
E. 4
PEMBAHASAN :
f(x) =
f'(x) =
misal : u(x) = 2x + 4
u'(x) = 2
v(x) = 1 +
v'(x) = 1/2 x-1/2
f'(x) =
f'(4) =
=
=
=
=
=