Kategori: Statistika Matematika

Distribusi Binomial

obie2017Tinggalkan komentar
  1. Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli.Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli.

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka  probabilitas gagal q = 1 – p.

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yangdihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadiansukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial.

Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan:

  1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)
  2. Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”. Tidak ada ‟daerah abu-abu‟. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai keperluan, Misal:

  Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

  Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)

  Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)

  Puas (sukses), tidak puas (gagal)

  1. Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.
  2. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal:

  1. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;
  2. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

 

  1. Distribusi Binomial Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 – p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial) .Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu. Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana sukses ke-k terjadi diberikan oleh:

 

Notasi:

p = peluang sukses

x = jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-k

k = jumlah sukses yang muncul

 

beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi binomial negatif

  1. Mean (Nilai Harapan):

E(X) = k / p

  1. Varians

Var(X) = k (1 – p) / p2

  1. Fungsi Pembangkit Momen
  2. Fungsi Pembangkit peluang
  3. Fungsi karakteristik