Turunan

Turunan Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan dan contoh
Jika dengan C dan n konstanta real, maka :

Jika y = C dengan

Jika y = f(x) + g(x) maka

Jika y = f(x).g(x) maka

Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Trigonometri adalah :

Contoh Soal :

Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.
Pembahasan :

y’ = dy = d (sin 4x + cos 6x)

dx dx

y’ = 4 cos 4x − 6 sin 6x.
Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.
Pembahasan :

y’ = dy = d (6 sin 2x − 4 cos x)

dx dx

y’ = 12 cos 2x − (-4 sin x)
y’ = 12 cos 2x + 4 sin x
Jika y = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.
Pembahasan :

y’ = dy = d (3x⁴ + sin 2x + cos 3x)

dx dx

y’ = 12 x³ + 2 cos 2x − 3 sin 3x.
Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f ‘(^π⁄₆).
Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.Maka turunan pertamanya adalah :

f ‘(x) = dy = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

dx

f ‘(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
f ‘(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
f ‘(^π⁄₆) = cos (^π⁄₆). cos 3(^π⁄₆) − 3 sin (^π⁄₆). sin 3(^π⁄₆)
f ‘(^π⁄₆) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
f ‘(^π⁄₆) = 0 − ³⁄₂
f ‘(^π⁄₆) = –³⁄₂
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

y = 1 + cos x

sin x

Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
⇒ u(x) = 1 + cos x, maka u'(x) = -sin x
⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.Maka turunan pertamanya adalah :

y’ = dy = u'(x).v(x) − u(x).v'(x)

dx v²(x)

y’ = -sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)

sin² x

y’ = -sin² x − cos² x − cos x

sin² x

y’ = -(sin² x + cos² x) − cos x

sin² x

y’ = -(1) − cos x

1 − cos² x

y’ = –(1 + cos x)

(1 − cos x).(1 + cos x)

y’ = -1

1 − cos x

y’ = 1

cos x − 1

Turunan Kedua

Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f ‘(x) = u’ + v’
2. f(x) = u – v maka f ‘(x) = u’-v’
3. f(x) = c.u maka f ‘(x)=c.u’
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u’v + uv’

Contoh Soal :

Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f‘(x) = …

A. 4(2x – 1)(x + 3)

B. 2(2x – 1)(5x + 6)

C. (2x – 1)(6x + 5)

D. (2x – 1)(6x + 11)

E. (2x – 1)(6x + 7)

PEMBAHASAN :

INGAT : f(x) = u.v

f'(x) = u’v + uv’

misal : u(x) = (2x – 1)2 $\Rightarrow$ u'(x) = 2(2x – 1)(2)

v(x) = x + 2 $\Rightarrow$ v'(x) = 1

f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)

= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2

= 8×2 + 12x – 8 + 4×2 – 4x + 1

= 12×2 + 8x – 7

= (2x – 1)(6x + 7)

JAWABAN : E
Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = $\sqrt{3x^2+5}$ adalah f ‘(x), maka f‘(x) = …

A. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}$

B. $\frac{3}{\sqrt{3x^2+5}}$

C. $\frac{6}{\sqrt{3x^2+5}}$

D. $\frac{x}{\sqrt{3x^2+5}}$

E. $\frac{6x}{\sqrt{3x^2+5}}$

PEMBAHASAN :

$\dfrac{f(x)}{dx} = \dfrac{\sqrt{3x^2+5}}{dx}$

= $\dfrac{(3x^2 + 5)^{1/2}}{dx}$

= $\dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} \dfrac{3x^2}{dx}$

= $\dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} 6x$

= $\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}$

JAWABAN : A
Diketahui f(x) = $\sqrt{4x^2+9}$ , Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f‘(2) = …

A. 0,1

B. 1,6

C. 2,5

D. 5,0

E. 7,0

PEMBAHASAN :

f(x) = $\sqrt{4x^2+9}$

= (4×2+9)1/2

f'(x) = 1/2 (4×2+9)-1/2 (8x)

= 4x (4×2+9)-1/2

= $\frac{4x}{\sqrt{4x^2+9}}$

f'(2) = $\frac{4(2)}{\sqrt{4(2)^2+9}}$

= $\frac{8}{\sqrt{25}}$

= 1.6

JAWABAN : B
Diketahui f(x) = $\frac{2x+4}{1+\sqrt{x}}$ . Nilai f‘(4) = …

A. 1/3

B. 3/7

C. 3/5

D. 1

E. 4

PEMBAHASAN :

f(x) = $\frac{u}{v}$

f'(x) = $\frac{u'.v-u.v'}{v^2}$

misal : u(x) = 2x + 4 $\Rightarrow$ u'(x) = 2

v(x) = 1 + $\sqrt{x}$ $\Rightarrow$ v'(x) = 1/2 x-1/2

f'(x) = $\frac{(2)(1+\sqrt{x})-(2x+4)(1/2.x^{-1/2})}{(1+\sqrt{x})^2}$

f'(4) = $\frac{2(1+\sqrt{4})-(2(4)+4)(1/2.(4)^{-1/2})}{(1+\sqrt{4})^2}$

= $\frac{2(1+(2))-(8+4)(1/2.(1/2))}{(1+2)^2}$

= $\frac{2(3)-(12)(1/4)}{(3)^2}$

= $\frac{6-3}{9}$

= $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$