Maret 31, 2017 – Matematika Keren

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan aturan pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan kita seperti mencari tinggi suatu gedung. dalam postingan kali ini kita akan membahas tentang Teorema Pythagoras dimana didalamnya berisikan Sejarah, Perbedaan Rumus dan Teorema Pythagoras, Tripel Pythagoras, Bukti Teorema Pythagoras, Kebalikan Pythagoras, Permasalahan dan solusi terkait Teorema Pythagoras, dan beberapa latihan soal.

Untuk yang menginginkan file ini dalam bentuk word dapat Anda download diakhir pembahasan.

—————————————

TEOREMA PYTHAGORAS

Sejarah

Pythagoras (582-500 SM) lahir di Pulau Samos di Yunani, dan melakukan banyak perjalanan melalui Mesir, sekaligus belajar matematika. Tidak banyak yang diketahui dari Phytagoras pada tahun-tahun awal. Pythagoras menjadi terkenal setelah mendirikan sebuah kelompok, “the Brotherhood of Pythagoreans” (Persaudaraan ilmu Pythagoras), yang dikhususkan untuk mempelajari matematika. Kelompok ini sangat dikhususkan sebagai simbol, ritual dan doa. Selain itu, Pythagoras percaya bahwa “Banyak aturan alam semesta,” dan ilmu Pythagoras memberikan nilai numerik untuk banyak obyek dan gagasan. Nilai-nilai numerik, pada gilirannya, dihubungkan dengan nilai mistik dan spiritual.

Legenda mengatakan bahwa setelah menyelesaikan teorema yang terkenal itu, Pythagoras mengorbankan 100 lembu. Meskipun ia sangat diagungkan dengan penemuan teorema yang terkenal itu, namun tidak diketahui apakah Pythagoras adalah penulis yang sebenarnya. Para pengkaji dalam kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menulis banyak bukti geometris, tetapi sulit untuk dipastikan siapa penemu Teorema Phytagoras itu sendiri, sungguh sebuah kelompok yang sangat menjaga rahasia temuan mereka. Sayangnya, sumpah kerahasiaan tersebut bertentangan dengan ide matematika yang penting yang harus diketahui publik. Kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menemukan bilangan irrasional. Jika kita mengambil segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki ukuran 1, maka panjang sisi miring adalah sqrt 2. Namun jumlah ini tidak dapat dinyatakan sebagai panjang yang dapat diukur dengan penggaris dibagi menjadi beberapa bagian pecahan, dan ini sangat mengganggu kelompok Pythagoras, yang terlanjur percaya bahwa “Semua adalah angka.” Mereka menyebutnya angka-angka “alogon,” yang berarti “unutterable.” Akhirnya mereka sangat terkejut dengan angka-angka ini, sehingga mereka dihukum mati bagi anggota yang berani menyebutkan keberadaan mereka kepada publik. Barulah 200 tahun kemudian, yaitu oleh Eudoxus, seorang matematikawan Yunani yang dapat mengembangkan sebuah cara untuk berurusan dengan angka-angka unutterable tersebut.

“Jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miring”.

Hubungan ini telah dikenal sejak zaman Babilonia dan Mesir kuno, meskipun mungkin belum dinyatakan secara eksplisit seperti di atas. Sekitar pertengahan tahun 4000 dalam kalender Babilonia (sekitar tahun1900 SM), yang sekarang dikenal sebagai Plimpton 322 , (dalam koleksi dari Columbia University, New York), terdapat daftar kolom nomor yang menunjukkan apa yang sekarang kita sebut Triples Pythagoras –yaitu kumpulan angka yang memenuhi persamaan $a^2+b^2=c^2$

Perbedaan Rumus dan Teorema Pythagoras

Teorema merupakan sebuah pernyataan (umumnya dalam bentuk implikasi, ”jika…maka…”) yang (selalu) bernilai benar. Dalam bahasa Indonesia, istilah ”teorema” sering ditulis dengan nama ”dalil”. Karena itu, pada beberapa literatur ”Teorema Pythagoras” kadang disebut dengan nama ”Dalil Pythagoras”.

Berikut beberapa alternatif untuk menyatakan Teorema Pyhagoras:

“Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain”.

“Jika segitiga ABC dengan C sudut siku-siku dan a, b, c berturut-turut panjang sisi di depan sudut A, B, dan C maka berlaku $a^2+b^2=c^2$ ”.

“Jika segitiga ABC siku-siku di C maka luas persegi yang panjang sisinya c sama dengan jumlah luas persegi yang panjang sisi-sisinya a dan b”.

“Jika segitiga ABC siku-siku maka luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi yang lain”(“The area of the square on the hypotenuse of a right-angled triangle is a aqual to the sum of the areas of the square on the other two sides”).

Rumus dalam matematika adalah suatu pernyataan aljabar (menggunakan lambang) baik berupa kesamaan maupun ketidaksamaan. Dengan demikian, apa yang disebut Rumus Pythagoras adalah kesamaan: $a^2+b^2=c^2$ .

Jadi jelas bahwa Teorema Pythagoras adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar tentang panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, sementara Rumus Pythagoras berupa pernyataan aljabar yang menyatakan hubungan ketiga panjang sisi segitiga siku-siku. Rumus Pythagoras bukan Teorema Pythagoras, tetapi Teorema Pythagoras memuat Rumus Pythagoras baik secara implisit maupun eksplisit.

Tripel Pythagoras

Terdapat beberapa Tripel Pythagoras yang sudah biasa dikenal seperti (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25), dan (8, 15, 17). Secara umum terdapat dua jenis Tripel Pythagoras. Pertama, Tripel Pythagoras Primitif atau Tripel Pythagoras Dasar yaitu Tripel Pythagoras yang semua bilangannya memiliki FPB (factor persekutuan terbesar) sama dengan 1. Ini artinya Tripel Pythagoras Primitif tidak dapat disederhanakan lagi menjadi bilangan-bilangan bulat yang lebih kecil dengan perbandingan yang sama. Jenis kedua Tripel Pythagoras Non-Primitif. Tripel Pythagoras Non-Primitif dapat diperoleh antara lain dengan mengalikan setiap unsur pada Tripel Pythagoras Primitif dengan bilangan asli 2.

Contoh Tripel Pythagoras Primitif adalah (3,4,5) dan (5,12,13). Contoh Tripel Pythagoras Non- primitif adalah (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20), (15,20,25), (10,24,26), (15,36,39), (20,48,52), dan (25,60,65). Tripel Pythagoras (6,8,10) = (2 x 3,2 x 4,2 x 5) cukup kita tulis 2 x (3,4,5).

Berikut ini, sebuah rumus yang cukup sederhana. 2m, m² – 1, m² + 1 dengan m sebarang bilangan asli lebih dari 1. Dapat ditunjukkan bahwa rumus di atas memenuhi Tripel Pythagoras sebagai berikut:

(2m)² + (m² – 1)² = m⁴+ 4m² – 2m² + 1

= m⁴ + 2m²+ 1

= (m² + 1)²

Bukti Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah sebuah pernyataan yang selalu bernilai benar. Akan tetapi bagi siswa kebenaran pernyataan tersebut tidak serta merta jelas dan mudah dimengerti. Bahkan bagi banyak orang dewasa pun, kebenaran pernyataan Teorema Pythagoras perlu pembuktian. Sudah menjadi suatu keharusan dalam matematika, bila sebuah pernyataan hendak dikatakan sebagai ”teorema” maka pernyataan itu harus dibuktikan terlebih dahulu kebenarannya.

Berikut ini beberapa bukti yang cukup relevan untuk dipergunakan dalam pembelajaran di SMP. Bukti Teorema Pythagoras berikut diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis, yaitu:

Bukti Diagram (proof without words)

Bukti dari Pythagoras berupa bukti dengan diagram dan termasuk salah satu bukti yang mudah untuk dipahami. Bukti dengan diagram kadang dapat dipahami tanpa menyertakan tulisan apapun sehingga sering disebut ”bukti tanpa kata-kata” (proof without words). Bukti dapat dipahami dengan hanya melihat dan mencermati diagram. Berikut bukti dari Pythagoras (atau Perguruan Pythagoras).

Gambar 1 (pembuktian teorema pythagoras dengan diagram)

Keempat segitiga siku-siku pada persegi Gambar 1 (i) dan (ii) mempunyai ukuran panjang sisi maupun sudutnya berpasang-pasangan sama (segitiga-segitiga itu dinamakan kongruen) Dengan demikian, luas daerah yang tidak ditutupi oleh keempat segitiga siku-siku itu (yang tidak diarsir) haruslah sama. Pada persegi Gambar (i) yang tidak terarsir luasnya $c^2$ dan kedua persegi pada Gambar (ii) jumlah luasnya $a^2+b^2$ Jadi, $a^2+b^2=c^2$ .
. (TERBUKTI)

Bukti dengan menggunakan rumus luas

Bukti dari Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X).

Bukti dari J.A. Garfield tahun 1876.

Bukti dengan pemotongan (dissection method)

(Bukti-bukti diatas seleapnya dapat di lihat dengan mendownload file diakhir pembahasan)

Beberapa bukti yang telah dibahas di atas dapat dipergunakan di SMP. Beberapa di antaranya dapat pula didemonstrasikan menjadi sebuah alat peraga. Ini tentu lebih menarik bagi siswa. Selain itu, walaupun jenis bukti “proof without words” masih menjadi polemik di kalangan matematikawan (karena tidak memuat kata-kata dan lambang aljabar), tetapi bukti jenis ini cocok untuk mengasah intuisi dan penalaran siswa.

Kebalikan Teorema Pythagoras

Umumnya kita mengenal rumus yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah Rumus Pythagoras. Teorema atau dalil yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah Teorema Pythagoras. Rumus Pythagoras merupakan bagian penting dari Teorema Pythagoras. Secara umum, pernyataan Teorema Pythagoras mengambil bentuk implikasi yaitu memuat kata “maka” atau sejenisnya. Satu hal yang hampir selalu dilupakan adalah apakah kebalikannya juga benar? Jika pada suatu segitiga dipenuhi kuadrat panjang sisi terbesar sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain maka segitiga itu siku-siku?

Ingat pada Teorema Pythagoras, sifat siku-siku segitiga sebagai sebab dan Rumus Pythagoras sebagai akibat. Bagaimana bila sebaliknya, Rumus Pythagoras sebagai sebab apakah berakibat sifat siku-siku pada segitiga?

Bukti Kebalikan Teorema Pythagoras:

Pada segitiga ABC dengan panjang sisi a, b dan c berlaku a² + b² = c², akan dibuktikan bahwa segitiga ABC siku-siku di C.

Buatlah segitiga A’BC dengan sudut A’CB siku-siku dan A’C = b . Misal A’B’ = x. Oleh karena segitiga A¢BC siku-siku di C maka menurut Teorema Pythagoras berlaku: a² + b² = x²…(1), Di lain pihak, diketahui bahwa a² + b² = c²… (2), maka dari (1) dan (2) diperoleh x² = c² atau x = c.

Jadi, AB = A’B’. Dengan demikian, oleh karena semua sisinya sama panjang maka segitiga ABC kongruen dengan A’B’C. Ini berakibat sudut ACB juga sikusiku. (terbukti).

Kebalikan Teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Pada sebarang segitiga ABC dengan a² + b² = c²maka sudut C siku-siku”.

Akhirnya, Teorema Pythagoras dan Kebalikan Teorema Pythagoras dapat pula digabung menjadi sebuah teorema gabungan, sebagai berikut:

“Pada sebarang segitiga ABC, jika sudut C siku-siku maka a² + b² = c²dan sebaliknya, jika a² + b² = c²maka sudut C siku-siku”.

Permasalahan dan Solusi

Permasalahan yang sering terjadi dalam pembelajaran materi Teorema Pythagoras di sekolah adalah siswa hanya mengetahui rumus pythagoras tanpa mengetahui bukti darimana rumus itu didapatkan. Hal ini karena guru hanya memberikan rumus pythagoras untuk menyelesaikan soal-soal, tanpa memberikan pembuktian-pembuktian dari teorema pythagoras.

Solusi dari permasalahan diatas adalah pemberian contoh soal dimana didalamnya juga termuat pembuktian rumus yang diperoleh dari soal tersebut.

index

Domain Fungsi (D_F)
F(x) = , D_F semua bilangan R, dimana f(x) ³ 0
F(x) = , D_F semua bilangan R, dimana g(x) ¹ 0

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
(fg)(x) = f(g(x))
(fgh)(x) = f(g(h(x)))
(fg)^{– 1}(x) = (g^{– 1}f^{– 1})(x)
f(x) = , maka f^{– 1}(x) =
f(x) = ^alog x, maka f^{– 1}(x) = a^x
f(x) = a^x, maka f^{– 1}(x) = ^alog x

SOAL

PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12

Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …

a. y = 3^x

b. y =

c. y =

d. y =

e. y = 2^x

Jawab : d

2. UN 2011 PAKET 46

Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …

a. y = 3^x

b. y =

c. y =

d. y =

e. y = 3^{– x}

Jawab : a

SOAL

PENYELESAIAN

3. UN 2010 PAKET A/B

Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini!

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah….

a. y = ²log x d. y = –2 log x

b. y = e. y = –log x

c. y = 2 log x Jawab : b

Hari: 31 Maret 2017

Matematika Diskrit

TEOREMA PYTHAGORAS

Lingkaran

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Baris dan Deret

r_baru =

Transformasi

Vektor

rbaru =

r_baru =